A..1 ノルム

以下紹介する命題の証明は、桂田 [6] で読める。

$\R^n$ は自然に $\R$ 上のベクトル空間であるが、 任意の $p\in [1,\infty)$ に対して

$$\Vert x\Vert _p:=\left(\sum_{j=1}^n\vert x_j\vert^p\right)^{1/p} \quad\mbox{($x=(x_1,\cdots,x_n)^T\in\R^n$)},$$

また $p=\infty$ に対して

$$\Vert x\Vert _p=\Vert x\Vert _\infty:=\max_{1\le j\le n} \vert x_j\vert \quad\mbox{($x=(x_1,\cdots,x_n)^T\in\R^n$)}$$

とおくと (本当は $n$ にも依存するわけだが、 混乱は起らないと考えられるので、単に $\Vert\cdot\Vert _p$ と書くことにする)、 任意の $1\le p\le\infty$ に対して $\Vert\cdot\Vert _p$ は $\R^n$ のノルムとなる。 以下 $\Vert\cdot\Vert _p$ を $\R^n$ の $p$ ノルムと呼ぶことにする。

実数を成分とする $m$ 行 $n$ 列の 行列全体の集合 を $\R^{m\times n}$ と書く。 $m=n$ ならば $\R^{m\times n}$ は多元環、 $m\ne n$ であっても $\R^{m\times n}$ はベクトル空間の構造を持つ。

$A\in\R^{m\times n}$ は線型写像 $\R^n\ni x\mapsto A x\in \R^m$ を引き 起こすが、$\R^n$ の任意のノルム $\Vert\cdot\Vert$, $\R^m$ の任意のノルム $\Vert\cdot\Vert'$ に対して、

$$\Vert A\Vert'':=\sum_{x\ne 0}\frac{\Vert A x\Vert'}{\Vert x... ...ert\le 1}{\Vert A x\Vert'} \quad\mbox{($A\in\R^{m\times n}$)}$$

とおくと、

$$\Vert A\Vert''<\infty\quad\mbox{($A\in\R^{m\times n}$)}$$

となり、$\Vert\cdot\Vert''$ は $\R^{m\times n}$ のノルムとなる。 これを $\Vert\cdot\Vert$, $\Vert\cdot\Vert'$ から誘導される作用素ノルムと呼ぶ。

任意の $A\in\R^{n\times n}$ に対して、 $A$ のスペクトル半径 ($A$ の固有値の絶対値の最大値) を $r(A)$ と書く。

$\R^n$ に $p$ ノルムを与えたとき、 $\R^{n\times n}$ の作用素ノルム

$$\Vert A\Vert:=\sup_{x\in\R^n\setminus\{0\}}\frac{\Vert A x\Vert _p}{\Vert x\Vert _p} \quad\mbox{($A\in\R^{n\times n}$)}$$

を $\R^{n\times n}$ の $p$ ノルムと呼ぶことにして、 やはり $\Vert\cdot\Vert _p$ という記号で表わす。