4.1 $(X^*)^*$ への標準単射

$X$ を Banach 空間とする。 $x\in X$ を取り、

$$T\colon X^* \ni f\longmapsto {}_{X^*}\langle{f},{x}\rangle_{X}\in \textbf{K}$$

を考える。 明らかに $T$ は線形である。 また

$$\vert T f\vert=\vert{}_{X^*}\langle{f},{x}\rangle_{X}\vert\le \Vert f\Vert _{X^*} \Vert x\Vert _{X}$$

であるから連続である。ゆえに $T\in (X^*)^*=X^{**}$. そして

$${}_{X^*}\langle{f},{T}\rangle_{X^{**}}={}_{X^*}\langle{f},{x}\rangle_{X}.$$

$$\Vert T\Vert _{X^{**}}\equiv \sup_{\Vert f\Vert _{X^*}=1}\vert{}_{X^*}\langle{f},{x}\rangle_{X}\vert$$

であるから、まず明らかに

$$\Vert T\Vert _{X^{**}}\le \sup_{\Vert f\Vert _{X^*}=1} \Vert f\Vert _{X^*} \Vert x\Vert _{X} \le \Vert x\Vert _{X}.$$

実は $\Vert T\Vert _{{X^*}^*}=\Vert x\Vert _{X}$ である。 実際、

$T$ のことを $J x$ と書こう。 つまり $J\colon X\to {X^*}^*$ で、

$$J x=T=(f\mapsto {}_{X^*}\langle{f},{x}\rangle_{X}).$$

この $J$ は線形である。実際

$$J (x+y)=(f\mapsto{}_{X^*}\langle{f},{x+y}\rangle_{X}) =(f\... ...e_{X})+(f\mapsto{}_{X^*}\langle{f},{y}\rangle_{X}) = J x+ Jy.$$

これが分かりにくければ

$${}_{X^*}\langle{f},{J(x+y)}\rangle_{X^{**}} =$$