1.4.0.1 蛇足

(別証) 右側の不等式は、 $x\mapsto x^{1/p}$ が「上に凸」であるから、

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^p\le\frac{a^p+b^p}{2}$$

となるので、両辺に $2^p$ をかけて得られる。

左側の不等式は簡単な証明があるのかな。地道にやるには、

$$f(x):=(x+b)^p-x^p-b^p\quad\mbox{($x\in[0,\infty)$)}$$

が単調増加であり、$f(0)=0$ であるから、$f(x)\ge 0$ とする。

右側の緩い方の不等式は

$$\left(a+b\right)^p \le\left(2\max\{a,b\}\right)^p =2^p\max\{a^p,b^p\}\le 2^p\left(a^p+b^p\right)$$

のように証明出来る。