3.2.3 amplitude $\am(\cdot;k)$

$x$ でなく、$\varphi$ を変数とした $\varphi\mapsto u=F(\varphi,k)= \dsp\int_0^\varphi \frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$ の逆関数を $\varphi=\am(u;k)$ と書く。

$k=1$ であるとき、

$$(-\pi/2,\pi/2)\ni \varphi\mapsto F(\varphi,k) =F(\varphi,1) =\... ...rt{1-\sin^2\theta}} =\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\cos\theta} \in\mathbb{R}$$

は全単射である。値域の $\mathbb{R}$ は $(-K(k),K(k))$ と書くことも出来る。

また、$k\in[0,1)$ であるとき、

$$\mathbb{R}\ni\varphi\mapsto F(\varphi,k)=\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \in\mathbb{R}$$

も全単射である。定義域を $[-\pi/2,\pi/2]$ に制限すると、 値域は $\left[-K(k),K(k)\right]$ となる。

そこで、しばらくは、 $\am(\cdot;k)$ を次のように定める。

• $k=1$ のとき、 $F(\cdot,k)\colon(-\pi/2,\pi/2)\to (-K(k),K(k))=(-\infty,\infty)$ の逆関数を $\am(\cdot;k)$ とする。 $\am(\cdot;k)\colon(-K(k),K(k))=\mathbb{R}\to(-\pi/2,\pi/2)$.
• $0\le k<1$ のとき、 $F(\cdot,k)\colon[-\pi/2,\pi/2]\to [-K(k),K(k)]$ の逆関数を $\am(\cdot;k)$ とする。 $\am(\cdot;k)\colon[-K(k),K(k)]\to[-\pi/2,\pi/2]$.

すなわち

$$u=F(\varphi,k)=\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \quad\Iff\quad \varphi=\am(u;k).$$

この $\am(u;k)$ を amplitude (振幅関数？) と呼ぶ。

$$\varphi=\am(u;k)\quad\Iff\quad u=F(\varphi,k)\quad\Iff\quad u=F(\sin\varphi;k)\quad\Iff\quad \sin\varphi=\sn(u;k)$$

であるから、

$$\sn(u;k)=\sin\am(u;k).$$

ゆえに

$$\cn(u;k)=\cos\am(u;k).$$