2.4 $F(\cdot ,k)$, $E(\cdot ,k)$ の $\mathbb{R}$ 全体への拡張

(以下は本当かな？？？？？)

$x$ を変数とする限り、実関数の範囲では $-1\le x\le 1$ とするのは自然 であり、そうすると $\varphi$ の範囲は $-\pi/2\le \varphi\le \pi/2$ とな るが、$\varphi$ を変数とした

$$F(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}},$$

$$E(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\D\theta$$

の右辺は、任意の $\varphi\in\mathbb{R}$ について意味を持つ。

そうして拡張した場合も、 $F(\cdot ,k)$, $E(\cdot ,k)$ は奇関数である。 そして、

$$F(s\pi+\varphi,k)=2sK(k)+F(\varphi,k)$$   ( $s\in\mathbb{Z}$)$$.$$

$k=0.1,0.5,0.9$ の場合に、 $\varphi\mapsto F(\varphi\vert k)$ と $\varphi\mapsto E(\varphi\vert k)$ の $[-\pi,\pi]$ の範囲のグラフを描いておく (青色の線が $F$, 橙色の線が $E$)。 $[-\pi/2,\pi/2]$ の外に出ても滑らかな曲線であることが分かる。

図 4: $F(\cdot ,0.1)$, $E(\cdot ,0.1)$ のグラフ

図 5: $F(\cdot ,0.5)$, $E(\cdot ,0.5)$ のグラフ

図 6: $F(\cdot ,0.9)$, $E(\cdot ,0.9)$ のグラフ