2.2.2 完全楕円積分

$x=1$ のときの $F(x;k)$ の値 (あるいは $\varphi=\pi/2$ のときの $F(\varphi,k)$ の値) は、 楕円関数の周期と関係するので特に重要で、特別に記号が用意されている。

$$K(k):=F\left(1;k\right) =F\left(\frac{\pi}{2},k\right) =\int_0^{1... ...t{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} =\int_0^{\pi/2}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}.$$ (6)

これを第1種完全楕円積分と呼ぶ。$F(k)$ と書かれることもある。

$$k':=\sqrt{1-k^2}$$ (7)

で定まる $k'$ のことを the complementary modulus, あるいは the complementary variable of $k$ と呼ぶが、 それに対する $K$ の値 $K(k')$ を

$$K'(k):=K(k')$$ (8)

とおくこともある。

記憶用

$$K'(k):=K(k')=\int_0^{\pi/2}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k'^2\sin^2\theta}}, \quad k':=\sqrt{1-k^2}.$$

$k$ が一定の場合に、$K(k)$, $K'(k)$ をそれぞれ $K$, $K'$ と略記すると、 (筋の通った) 便利な記法になる。

例えば

$K$, $i K'$ は、それぞれ ( $\mathrm{sn}(z;k)$ の) the real quarter-period, the imaginary quarter-period である。

記憶用の式

母数 $k$, $k':=\sqrt{1-k^2}$ を使う流儀 (この文書の標準) では

$$K'(k)=K(k')=K(\sqrt{1-k^2}).$$

パラメーター $m$, $m_1:=1-m$ を使う流儀では

$$K'(m)=K(m_1)=K(1-m).$$

$k$, $k'$, $K(k)$, $K(k')$, $\dfrac{K(k')}{K(k)}$ のどれか一つが 与えられれば、他は定まる。

(実際、容易に分かるように、 $K\colon[0,1)\ni k \mapsto K(k)$ は狭義単調増加である。

$$K(0)=\frac{\pi}{2},\quad \lim_{k\to 1}K(k)=\infty$$

であるので、$K$ の値域は $[\pi/2,\infty)$ である。 ゆえに $(0,1]\ni k\mapsto K(k')=K(\sqrt{1-k^2})$ は狭義単調減少である。 ゆえに $(0,1)\ni k\mapsto \frac{K(k')}{K(k)}$ も狭義単調減少である。 従って、いずれの対応 $k\mapsto K(k)$, $k\mapsto K(k')$, $k\mapsto\frac{K(k')}{K(k)}$ も単射である。)

$$E(k):=E(1;k)=\int_0^1\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\;\D t =\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\D\theta,$$ (9)

$$\Pi(n;k):=\int_0^1\frac{1}{(1+nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\;\Dt =\int_0^{\pi/2}\frac{\D\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}.$$ (10)

Mathematica でグラフを描く

Mathematica では

$$K(m):=\int_0^{\pi/2}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta }\;},$$

$$E(m):=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2\theta }\;\D\theta,$$

$$Pi(n;m):=\int_0^{\pi/2} \frac{\D\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt{1-m\sin^2\theta}}$$

を計算する関数 EllipticK[m], EllipticE[m], EllipticPi[n,m] が用意されている。母数 $k$ でなくパラメーター $m=k^2$ を使っていること、 $n$ の符号が我々とは逆であることに注意が必要である。 我々の記号の $K$, $E$, $\Pi(n;\cdot)$ ($n=3/4$) のグラフを描くには

grK = Plot[EllipticK[k^2], {k, 0, 0.99999}, PlotRange -> {0, 8}]
grE = Plot[EllipticE[k^2], {k, 0, 1}, PlotRange -> {0, 2}]
grPi = Plot[EllipticPi[-3/4, k^2], {k, 0, 1}, PlotRange -> {0, 3}]

とすることになる。

図 1: $K(\cdot )$ のグラフ ( $0\le k\le 0.99999$)

図 2: $E(\cdot )$ のグラフ ( $0\le k\le 1$)

図 3: $\Pi (n,\cdot )$ のグラフ ( $0\le k\le 1$), $n=\frac {3}{4}$