A..5 Fourier-Bessel 展開

$\begin{jproposition}[Bessel 関数の直交関係式] $\nu\ge -1/2$ とする�... ...)^2}{2}\delta_{nm} \quad\mbox{($n,m\in\N$)} \end{displaymath}\end{jproposition}$

$\begin{jtheorem}[Fourier-Bessel展開] $f\colon (0,c)\to\C$ が連続で、 $\... ...ambda_2<\cdots<\lambda_{j}<\lambda_{j+1}<\cdots. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

$\begin{jremark}[不連続関数の展開] $f$ が連続でなくて、単に ... ...��成立する。 - 普通の Fourier 級数と同じだ。 \qed \end{jremark}$

$\begin{jtheorem} 円盤 $\{(x,y);x^2+y^2<1\}$ の完全系 \begin{displaymath}... ..._n(\mu_{nj}r)\sin n\theta \D\theta\right) \D r. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

証明. $r\in(0,1)$ を固定して、 $\theta\mapsto f(r,\theta)$ を考えると、 Fourier 級数展開

$\displaystyle f(r,\theta)=\frac{a_0(r)}{2} +\sum_{n=1}^\infty (a_n(r)\cos n\theta+b_n(r)\sin n\theta),$

$\displaystyle a_n(r):=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(r,\theta)\cos n\theta \D\theta, \quad b_n(r):=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(r,\theta)\sin n\theta \D\theta$

が得られる。

は

上の関数だから、 Fourier-Bessel 展開ができる。

$\displaystyle a_n(r)=\sum_{j=1}^\infty A_{nj}J_n(\mu_{nj}r),\quad A_{nj}:=\frac{2}{J_{n+1}(\mu_{nj})^2}\int_0^1 r a_n(r)J_n(\mu_{nj}r) \D r,$

$\displaystyle b_n(r)=\sum_{j=1}^\infty B_{nj}J_n(\mu_{nj}r),\quad B_{nj}:=\frac{2}{J_{n+1}(\mu_{nj})^2}\int_0^1 r b_n(r)J_n(\mu_{nj}r) \D r.$

以上まとめると定理を得る。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\begin{jcorollary} 円盤 $\{(x,y);x^2+y^2<R^2\}$ の完全系 \begin{displaym... ...(\mu_{nj}r)\sin n\theta \D\theta\right) \D r. \end{displaymath}\end{jcorollary}$