3.2 $x\to \pm \infty$ での減衰の速い解析関数の積分 $\dsp\int_{-\infty}^\infty f(x)\;\Dx$ に対する台形公式

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が解析関数で、 $x\to \pm \infty$ のとき急速に $f(x)\to 0$ となるとする。 このとき

$$I=\int_{-\infty}^\infty f(x)\;\Dx$$ (20)

に対して、$h>0$ を取り、

$$I_h:=h\sum_{n=-\infty}^\infty f(nh)$$ (21)

とおく。 実は多くの場合に $I_h$ は $I$ の良い近似になることが知られているが、 実際上は、 無限和を計算することは難しいので、十分大きな $N\in\mathbb{N}$ を取って

$$I_{h,N}:=h\sum_{n=-N}^N f(nh)$$ (22)

で代用する。

$I_h$, $I_{h,N}$ も台形公式と呼ばれる。

問題によっては、非対称に和を取る

$$I_{h,N_1,N_2}:=h\sum_{n=-N_1}^{N_2} f(nh)$$

が望ましいことがあるが、以下では簡単のため、主に $I_{h,N}$ を用いる。