2.3.3 滑らかでない関数の場合

滑らかでない関数に対する数値積分を調べてみよう。

$$I=\int_{0}^1\sqrt{1-x^2 }\Dx\quad\left(=\frac{\pi}{4}\right).$$

$ cc -o example3 example3.c
$ ./example3 > ex3.data
$ cat ex3.data
  (結果はこの文書では省略)
$ gnuplot example3.gp -

(結果は図3)

図: $I=\dsp\int_0^1\sqrt{1-x^2}\;dx$ を中点公式、台形公式、Simpson 公式で計算したときの誤差

図 3 を見ると、一応誤差は減少するが、その速さがこれまでより遅く、 また Simpson 公式の速さが中点公式、台形公式と変わらないことに気付く。

事実3

     連続であるが、滑らかでない関数 (実際、$x=1$ で微分可能でない) に対しては、 収束はしても収束は遅い。 高次の公式の優位性はない。

     連続でない関数に対しては、そもそも積分公式が適用不可能なこともありうる。