4 Newton 法

$\displaystyle \vec F(\vec U):= A\vec U-
\left(
\begin{array}{c}
(U_1)^2  (U_2)^2  \vdots  (U_{N-1})^2
\end{array} \right)
$

とおくと、(3) は

(4) $\displaystyle \vec F(\vec U)=\vec 0$

となる。

この場合に、Newton 法とは、初期値 $ \vec U^{(0)}$ を適当に選んで、後は漸化式

(5) $\displaystyle \vec U^{(k+1)}= \vec U^{(k)}- \left(\vec F'(U^{(k)})\right)^{-1} \vec F(\vec U^{(k)})$

でベクトル列 $ \{\vec U^{(k)}\}_{k\in\N}$ を定めるというものである。

$\displaystyle \vec F'(\vec U)
= A
-
2\left(
\begin{array}{rrrr}
U_1 & & & ...
...\\
\bigzerol & & & U_{N-1}
\end{array} \right)
=A-\diag[U_1,\dots,U_{N-1}]
$

であるから、ヤコビ行列 $ \vec F'(\vec U)$ は三重対角行列である。

(5) において逆行列が現れるが、逆行列を計算せずに、連立 1次方程式を解く形で計算を遂行すべきことに注意しよう。



桂田 祐史