5.4 中島大介『魚種交替の「3すくみ関係」』

捕食者 (predator) と被食者 (prey) の関係にある2種の生物群の増減を モデル化した、次の方程式を Lotka-Voltarra の方程式と呼ぶ。

$$\frac{\D x}{\D t}=x\left(\alpha-\beta y\right),$$

$$\frac{\D y}{\D t}=-y\left(\gamma-\delta d x\right).$$

$t$ は時刻、 $x$ が被食者の個体数、$y$ が捕食者の個体数である。 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ は正の定数である。

$\Vector{f}(x,y):= \begin{pmatrix} x\left(\alpha-\beta y\right) \\ -y\left(\gamma-\delta d x\right) \end{pmatrix}$ とおくとき、ヤコビ行列は

$$\Vector{f}'(x,y)= \begin{pmatrix} \alpha-\beta y & -\beta x\\ \delta y & \delta x-\gamma \end{pmatrix}.$$

平衡点は $(x_0,y_0)=(0,0),\left(\dfrac{\gamma}{\delta}, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ の2点である。

前者は実際にはほとんど無意味である (どちらの生物も存在しない)。 $\Vector{f}'(0,0)=\begin{pmatrix}\alpha& 0 0&-\gamma\end{pmatrix}$ の固有値は $\alpha$ , $-\gamma$ であるから、 $(0,0)$ は鞍点である。

後者について、 $\Vector{f}'\left(\dfrac{\gamma}{\delta},\dfrac{\alpha}{\beta}\right) =\begin{p... ...-\dfrac{\beta\gamma}{\delta} \\ \dfrac{\alpha\delta}{\beta} & 0 \end{pmatrix}$ で、固有値は $i\sqrt{\alpha\gamma},-i\sqrt{\alpha\gamma}$ である。

$$V(x,y):=\delta x+\beta y-\gamma\log x-\alpha\log y$$   $$\mbox{($(x,y)\in(0,\infty)\times(0,\infty)$)}$$

とおくとき、 $(0,\infty)\times(0,\infty)$ における解 $(x(t),y(t))$ に対して、

$$\frac{\D}{\D t} V(x(t),y(t))=0$$

1. Vito Volterra, Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie conviventi, Mem Acad Lincei Roma 2 (1926), pp. 31-113.
   http://www.liberliber.it/biblioteca/v/volterra/variazioni_e_fluttuazioni/pdf/volterra_variazioni_e_fluttuazioni.pdf
   数理解析研究所講究録 1448巻, 2005年, pp. 151-161 に解説がある。