4.1 Hamilton 系

$n$ を自然数とする。$\R^{2n}$ で定義された実数値関数 $H=H(q_1,\cdots,q_n,p_1,\cdots,p_n)$ が与えられたとき、 次の微分方程式を考える。

$$\dot q_j=\frac{\rd H}{\rd p_j}$$   $$\mbox{($j=1,2,\cdots,n$)}$$$$,$$

$$\dot p_j=-\frac{\rd H}{\rd q_j}$$   $$\mbox{($j=1,2,\cdots,n$)}$$$$.$$

このような $2n$ 次元力学系を Hamilton 系と言う。$n$ を自由度という。 $H$ を Hamiltonian または Hamilton 関数という。

例をあげると、

$p$ が角速度, $q$ が鉛直線からの触れの角度〜おっと単振り子ですか。 (中断)

物理を知らないのが普通というのは困るなあ…

$\R^{2n}$ 上の関数 $F$ が Hamilton 系の第一積分であるとは、 任意の解 $(q_1(t),\cdots,q_n(t),p_1(t), \cdots,p_n(t))$ に対して

$$\frac{\D}{\D t}F(q_1(t),\cdots,q_n(t), p_1(t),\cdots,p_n(t)) =0$$

を満たすことである。

$\R^{2n}$ 上の標準 Poisson 括弧 $\{\cdot,\cdot\}$ とは、

$$\{F,G\}=\sum_{j=1}^n \left[ \frac{\rd F}{\rd q_j}\frac{\rd G}{\rd p_j} -\frac{\rd F}{\rd p_j}\frac{\rd G}{\rd q_j} \right]$$

で定まる $2$ 次形式のこと。