Next: 参考文献

卒業研究テーマ固有値問題とそのシミュレーション

桂田祐史

Date: 2003年11月11日

微分作用素としては以下の 3 つのいずれかを考える。

$\displaystyle L[u]:= \left\{ \begin{array}{ll} p u''+q u'+r u \\ (p u')'+r u \\ u'' \end{array}\right.$

ただし後の波動方程式の問題では、

はそれぞれ $u_{x}$ , $u_{xx}$ を表わすと解釈する。

境界条件 (B.C.)としては

(1)	$\displaystyle u(0)=u(\ell)=0$

または

(2)	$\displaystyle u'(0)=u'(\ell)=0$

を考えることにする。

固有値問題とは、

$\displaystyle -L[u]=\lambda u,$ (B.C.) $\displaystyle ,\quad u\ne 0$

を満たす $\lambda$ ,

を求めよ、という問題である。

の場合は紙と鉛筆の計算で完全に解けるが、そうでない場合には難しく、コンピューター・シミュレーション以外には手段がない場合も多い。

波動方程式の初期値境界値問題とは、

(3)	$\displaystyle u_{tt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle L[u]$ $\displaystyle \mbox{($(x,t)\in(0,\ell)\times \R$)}$
(4)	(B.C.)
(5)	$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(x),\quad u_t(x,0)=g(x)$ $\displaystyle \mbox{($x\in[0,\ell]$)}$

を満たす

を求めよ、という問題である。これも $L[u]=u_{xx}$ の場合は紙と鉛筆の計算で完全に解けるが、そうでない場合には難しく、コンピューター・シミュレーション以外には手段がない場合も多い。

(1)

固有値問題を解くプログラムを作って実験せよ。

の場合のプログラムは菊地・山本 [1] にある。それを C に翻訳し、それからを一般化すると良い。
$\lambda$ は虚数になるか？
$\lambda$ は負になるか？
$\sqrt{\lambda_n}$ は $\sqrt{\lambda_1}$ の整数倍になるか？ (固有値を $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ と大きさの順に番号づけたとする。)
小さい番号に対する固有振動をブレンドして聴いてみよう。

(2)