1 課題

次の三つのうちから最低二つ実行してレポートせよ。

(1)

(同次 Dirichlet 境界条件の場合) 初期条件 $f$ を $f(x)=\sin \pi x+\frac{1}{3}\sin 3 \pi x$ で定めるとき、 差分解の誤差が $N$ の増加とともにどう変わるか確かめよ。
→ これは授業で紹介した実験をほんの少しだけ変えたもの。 指定された $f$ をプログラムに組み込み、 差分解と厳密解 (これは板書したし自分でやっても簡単) の差を 表示するようにプログラムを書き換えればよい。

(2)

(同次 Dirichlet 境界条件の場合) $\theta=0$ の場合、 安定性の条件 $0<\lambda\le 1/2$ が成り立つ場合 (これは離散最大値原理が成り立つ場合と言ってもよい) と 成り立たない場合に、 $\dsp\max_{0\le i\le N}\left\vert U^{n}_{i}\right\vert$ が $n$ の 増加とともにどう変わるか調べよ。 $0<\theta\le 1$ (例えば $\theta=1/4$, $1/2$, $1$) の場合はどうか？
→ $\dsp\max\left\vert U_i^n\right\vert$ を計算して表示するようにプログラムを書き 換えて実験する。

(3)

非同次 Neumann 境界条件

$$u_x(0,t)=A,\quad u_x(1,t)=B$$   $$\mbox{($t>0$)}$$

の場合のプログラムを作成して実験せよ。

1. $A=B=1$ の場合に $t\to\infty$ の時の解の漸近挙動を調べよ。
2. $A=1$, $B=1.1$ の場合に $t\to\infty$ の時の解の漸近挙動を調べよ。

ちなみに厳密解は次式で与えられる。

$$u(x,t)=(B-A)t+\frac{B-A}{2}x^2+A x+\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-n^2\pi^2 t}\cos n\pi x,$$

$$a_n=2\int_0^1 \left[f(x)-\left(\frac{B-A}{2}x^2+A x\right)\right] \cos n\pi x \Dx$$   $$\mbox{($n=0,1,\cdots$)}$$$$.$$

→ 差分方程式はプリントに書いた。 その差分方程式を解いて計算するようにプログラムを書き換える。