1 課題1: Runge-Kutta 型公式の次数

$$\frac{\D x}{\D t} = x^2,$$ (1)

$$x(0) = 1$$ (2)

を前進 Euler 法、後退 Euler 法、 古典的 Runge-Kutta 法で解くプログラムを作成し、以下のことを調べよ。

(1)

$t=1/2$ のときの値 $x(1/2)$ に対する近似値の精度が、 刻み幅を小さくすることでどう変化するか。

(2)

$t=1$ に対応する計算値 (真値は存在しない) が、 刻み幅を小さくすることでどのように変化するか調べよ。

(1階の方程式なので、素朴なプログラミング技法でも 比較的簡単に動くプログラムができる。)

• $x(1/2)$ に対応する近似値の精度は、 公式の次数を反映したものになる。
• 厳密解は $x(t)=\dfrac{1}{1-t}$ であり、 $t=1$ を爆発時刻とする爆発解である。 したがって $x(1)$ はナンセンスであるが、 普通の数値解法では $x(1)$ に「対応する」値が計算される。 それは幻であるが、 刻み幅を小さくしていくと「おかしい」ことは明瞭に察知される。
• 今回は初回なので結果を可視化することを要求しないが、 出来れば試みること。 例えば gnuplot (使い方は http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/howto/intro-gnuplot/ を見よ) などを利用するとよい。