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レポート課題1

次の (1) と (2) (A, B のどちらか一方を選ぶ) を行うこと。
(1)
    6月16日の授業「流れの合成」 (講義ノート「複素関数と流体力学」 [1] の§4.3 「基本的な流れの重ね合わせ」、 また講義のスライドPDFで言うと §5.15「流れの合成」) から3つの流れを選んで、 等ポテンシャル線、流線、 ベクトル場を適当に (流れの様子が良く分かるように) 可視化し、 流れがどのようなものか説明せよ (特に流速に注意すること)。 流線における流れ関数の値が分かるように説明すること。

注意: 3つの基本的な流れそのもの (一様流, 湧き出し& 吸い込み, 渦糸) は該当しない。そういうものを重ね合わせた流れを説明せよ、 ということである。

[どのように取り組むか] 一様流、 湧き出しのサンプル・プログラム (Mathematica) は

https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/
で公開してある。 それらは講義内容と対応するように書かれていて、 それを解読すれば要領は分かるはず。 細かいところは各々の流れに合うように直す必要がある。
(2)
     次のどちらかを選ぶ。
  1.      $ f(z)=z^\alpha$ を複素速度ポテンシャルとする流れを説明せよ。 図を用いて流れの様子を示すこと。

         とりあえず $ \alpha$ は正の定数とする。なるべく一般的に考えてもらいたいが、 分かりにくければ、 まず $ \alpha=n$ や $ \alpha=\dfrac{1}{n}$ ($ n$ は$ 2$以上の自然数) でもよい。 余裕があれば $ \alpha<0$ の場合も考えよ。

  2.      講義で Bernoulli の等式を紹介したが、 テキストで説明されることの多い場合を理解して説明してみよう。

         Euler 方程式 $ \dsp\rho\frac{D\bm{v}}{D t}=-\nabla p$ で支配される流体の運動を考える。密度$ \rho$ は正の定数とする。

    (i)
    3次元ベクトル場 $ \bm{v}=\bm{v}(\bm{x})$ に対して、

    $\displaystyle \left(\bm{v}\cdot\nabla\right)\bm{v} =\nabla\left(\frac{1}{2}\left\Vert\bm{v}\right\Vert^2\right) -\bm{v}\times\left(\rot\bm{v}\right) $

    が成り立つことを示せ。 ( $ \rot\bm{v}=\nabla\times\bm{v}$ である。)
    (ii)
    $ C$ を流線とするとき

    $\displaystyle \int_C\left(\bm{v}\times(\rot\bm{v})\right)\cdot\D\bm{r}=0 $

    が成り立つことを示せ (理由を簡単に書くだけで良い)。 ( $ \dsp\int_C\bm{f}\cdot \D\bm{r}$ は単位接線ベクトル $ \bm{t}$ を用いて $ \dsp\int_{C}\bm{f}\cdot\bm{t}\;\D s$ とも書かれる。)
    (iii)
    任意の流線に沿って、

    $\displaystyle \frac{1}{2}\left\Vert\bm{v}\right\Vert^2+\frac{1}{\;\rho\;}p $

    は定数であることを示せ。



桂田 祐史