C. Eigen ライブラリィを用いた Jordan 領域の等角写像の計算プログラム

本文中に Python を用いたサンプル・プログラムを載せた。 以前は C++ を用いていた。参考までそれも載せておく。

個人的には、この手の計算には MATLAB を使うのが好みであるが、 ここでは、C++ でベクトル、 行列に関する演算をするために便利なクラス・ライブラリィである、 Eigen を利用してみる (なお、C++ では、複素数を使うのも簡単である)。

WWWサイトから、 eigen-eigen-5a0156e40feb.tar.gz のような名前のソース・ファイル一式を 入手して、以下のようにインストールする。

MacBook のターミナルで次のようにインストール

tar xzf eigen-eigen-5a0156e40feb.tar.gz
cd eigen-eigen-5a0156e40feb
ls

(Eigen があることを確認)
cp -pr Eigen /include      あるいは      cp -pr Eigen /usr/local/include

アーカイブ・ファイルに含まれていた、Eigen というディレクトリィを、~/include や /usr/local/include の下にコピーしている。

(脱線になるけれど、Eigen を用いた、 Runge-Kutta 法のサンプル・プログラム https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/ball-bound.cppを紹介しておく。コンパイルの仕方、実行の仕方は、注釈に書いてある。)

$\Omega=D_1=D(0;1)$, $z_0=1/2$ の場合を解いてみよう。 つまり双正則な

$$\varphi\colon \Omega\to D_1$$

で、

$$\varphi(z_0)=0,\quad \varphi'(z_0)>0$$

を満たすものを求める。この場合は、1次分数変換

$$\varphi(z)=\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}\,z}$$

が解であることが分かっている。

conformalmap.cpp -- 例えばターミナルで

curl -O https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/conformalmap.cpp

としてダウンロード出来る。

/Users/mk/.tex-inputs/conformalmap.cpp

こんな風にコンパイル

g++ -I/opt/X11/include -I ~/include conformalmap.cpp -L ~/lib -lglscd -L/opt/X11/lib -lX11

(GLSC を利用していて、現象数理学科 Mac では、 ~/include, ~/lib にインストールされていることを想定している。 上の手順で、 Eigen も ~/include にインストールしておいた。)

図: $w=\dfrac{z-z_0}{1-\overline{z_0} z}$, $z_0=0.6$ による $z$ 平 面の同心円、放射線の像を描いた。