2.1 使うことの説明

1. 現象数理学科 Mac にインストールされている Mathematica は、 数式処理系と呼ばれるソフトウェアである。 プログラミング言語処理系の一種でもあるが、 多くのプログラミング言語 (例えば C, Python, Julia, MATLAB, …)は、 数値計算はできても数式の計算はできない。
2. 基本的な操作
   • 現象数理学科でライセンスを購入しているので、所属する学生は利用できる(はず)。 動かない場合は、桂田か池田先生に相談する (ライセンス・キーの発行ができる)。
   • アプリケーション・フォルダに Mathematica.app がある (私は Dock に追加しています)。
   • (新しくプログラムを作る場合) Mathematica を起動後、「新規ドキュメント」でノートブックを開き、 コマンドを入力して実行する。
   • コマンドの最後に + とタイプする。
   • 直前の結果は % で参照できる。 直前のコマンドは +L で呼び出せる。
   • コマンドは編集して再実行できる (挿入、上書き修正、削除、などが可能)。
   • ??関数名 としてマニュアルが開ける (非常に便利。これに慣れること。)。
   • 関数名の大文字・小文字に注意する。 用意されている関数名の先頭は大文字である。
   • ノートブックとして保存しておける (ファイル名の末尾は .nb)。
     保存前に不要なものを削除するのがお勧め (やり方を文章で説明するのは面倒なので、やって見せたときに覚えること)。
   • 既存のノートブックはダブルクリックで開ける。

     コマンドを1つ1つ + で実行する以外に、 [評価] $\to$ [ノートブックを評価] で順番に全部実行することもできる。

   • 計算の実行中に止めるには、 [評価]→[評価を放棄] (またはキーボードで command+.) とする。
3. 覚えるべき関数
   • 1変数関数のグラフを描くには、 Plot[f[x],{x,a,b}] とか Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
     グラフィックスを保存するには、 変数 = Plot[f[x],{x,a,b}] で記憶しておいて、 Export["ファイルの名前", 変数]

     Plot[Sin[x],{x,-10,10}]
     g1=Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-10,10}]
     Export["sincosgraph.png", g1]
     

   • 簡単な方程式を解くには、Solve[xの式1 == xの式2,x]     (今回は使わない)
     未知数とする x に何か値が代入してあってはダメ (事前に Clear[] しておく)。

     Clear[x]
     Solve[x^2+2x+3==0,x]
     Clear[x,y]
     Solve[{2x+3y==4,5x-6y==7},{x,y}]
     

   • Solve[ ] で解けない方程式を反復法で解くには、 FindRoot[xの式1 == xの式2, {x, x0}]

     初期値 x0 が必要。

     Clear[x]
     FindRoot[Tan[x]==-x,{x,2}]
     FindRoot[Tan[x]==-x,{x,2},WorkingPrecision->100]
     

     WorkingPrecision (作業精度) のデフォールトは、 WorkingPrecision->MachinePrecision (普通のC言語処理系のdouble相当で 16桁弱) である。

   • 繰り返しをしたいときは For[] もあるけれど、 Table[] を使うのが大抵の場合のお勧め。 (結果はリストになり、[[番号]] で要素にアクセスできるが、 今日は使わないので省略する。)

     Table[n^2,{n,10}]
     Table[n^2,{n,1,10}]
     Table[n^2,{n,1,10,1}]
     

     (どれも結果は同じである。)

     square=Table[x^2,{x,0,1,1/10}]
     

     次の違いを理解しよう (実行してから考えるで構わない)。

     Table[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 Pi}], {n, 5}]
     
     Plot[Table[Sin[n x], {n, 5}], {x, 0, 2 Pi}]
     

   • 定積分 $\dsp\int_a^b f(x)\Dx$ の計算は、 Integrate[f[x],{x,a,b}] とする。

     Integrate[Sin[lam x]^2,{x,0,1}]
     

     Cf. [1] p. 57 の $\dsp\int_0^1 \sin^2(\lambda_m\xi)\D\xi= \frac{\lambda_m-\sin\lambda_m\cos\lambda_m}{2\lambda_m}$ と見比べてみよう。
   • 自分で関数を定義する。関数の名前[x_]:=xの式 という形式。 関数の名前を使ってあるとおかしなことが起こることがある (定義する前に Clear[] する習慣をつけよう)。

     Clear[f]
     f[x_]:=Sin[x]
     

     Mathematica の関数は、数学でいう関数と違い、戻り値を使わない場合もある。

     sincosgraph[n_]:=Plot[{Sin[n x],Cos[n x]},{x,0,2Pi}]
     

4. 漸化式で定まる数列の、Mathematica での扱いの工夫。これは良く出て来る。 フィボナッチ数列 ($a_1=a_2=1$, $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ ($n\ge 2$))を計算する関数を定義してみる。

   Clear[a]
   a[n_]:=Which[n==0,1,n==1,1,True,a[n-1]+a[n-2]]
   Table[a[n],{n,0,10}]
   

   $10$ ならば良いが、$40$くらいだと大変になる (「実行中」のまま計算がなかなか終わらない)。無駄な計算をたくさんするから。 command+. で計算を放棄する。次が改良版。

   Clear[a]
   a[n_]:=a[n]=Which[n==0,1,n==1,1,True,a[n-1]+a[n-2]]
   Table[a[n],{n,0,100}]