常微分方程式の課題選び

桂田 祐史

Date: 2020年4月16日

自分で適当に探してもらえると嬉しいが、 手頃そうなものをあげておく (私がそれなりに知っているので、アドバイスしやすい)。

(1)

基本的な定数係数1階線形微分方程式

$$\frac{\D}{\D t} \begin{pmatrix}x y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x y \end{pmatrix},\quad A:= \begin{pmatrix}a & b c & d \end{pmatrix}$$ (1)

と初期条件

$$\begin{pmatrix} x(0) y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 y_0 \end{pmatrix}$$

を合わせた初期値問題。 多くの具体的な現象のモデルとなっている。例えばバネ振り子

$$m\frac{\D^2 x}{\D t^2}=-kx$$

や速度に比例する抵抗を考慮した

$$m\frac{\D^2 x}{\D t^2}=-kx-\gamma\frac{\D x}{\D t}$$

は、

$$y:=\frac{\D x}{\D t}$$

とおくことで (1) に帰着する。 数学の本に載っていることが多い。 さわりの部分は桂田 [1] の4節で読める。 力学系の平衡点の線形安定解析の基礎になっている。

(2)

強制振動 (前例に近い)

$$x''(t)+x(t)=\sin\omega t.$$

ここで $\omega$ は実数の定数とする。 共振が起こりうる。

(3)

単振り子の方程式

$$m\ell \theta''(t)=-mg\sin\theta(t).$$

ここで $m$, $\ell$, $g$ は正の定数である。 $\theta$ を $x$, $\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ を $\omega$ と書くと

$$x''(t)+\omega^2\sin x(t)=0.$$

振幅が小さいとき、単振動の方程式 $x''+\omega^2 x=0$ に近いが、 振幅が大きいとずれてくる。 有名なので、色々な本に載っている。 桂田 [8] というノートもある。

(4)

2次元の力学系から2題。

$$\frac{\D}{\D t} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y -6x-y-3x^2 \end{pmatrix}$$

と

$$\frac{\D}{\D t} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} = \begi... ...ix} y -x+\mu(1-x^2)y \end{pmatrix} \quad\text{(van der Pol の方程式)}$$

(ここで$\mu$ は正の定数). 力学系 $\frac{\D x}{\D t}=f(x)$ の平衡点の安定性について ヤコビ行列 $f'(x)$ の固有値の符号を調べるという話と、 limit cycle (極限閉軌道) の話。有名な話題。 桂田 [1] の5節で読める。

(5)

爆発する解を持つ問題。

$$\frac{\D x}{\D t}=x^2$$   ( $t\in\mathbb{R}$)$$,\quad x(0)=1.$$

この方程式は $t<1$ の範囲でしか解を持たず、 $\dsp\lim_{t\to 1-0}x(t)=+\infty$ となる。 素朴に数値計算すると似ても似つかない数値を得る。 爆発する問題の数値計算はそれなりに工夫が必要で面白い。 色々な工夫が考えられるが、伊理・藤野 [8] に一つのヒントがある。

(6)

万有引力に従う天体の運動。 2体問題の場合に、Keplerの法則が得られることが有名 (しかし解軌道は比較的簡単な式で表せるが、解を表すのは難しい)。

桂田 [4] を見よ (これは藤田・齊藤 [8] の読書ノートのようなもので、 [8] を持っているのならば、そちらを読んだ方が良いかも。 あるいは、 富坂・花輪・牧野 [10] のような天文学の本を読むとか。)。

一般化して、三体問題、多体問題に取り組むのも面白いかも。 三体問題には、有名な特解が色々ある (SF にも時々出て来る)。 そういうのをシミュレーションするのに誰かチャレンジしないかな、 と考えている。 最近出た浅田 [11] なども面白く読めるかも。

(7)

Lotka-Volterraの方程式。

$$\frac{\D x}{\D t}=ax-bxy,$$ (2)

$$\frac{\D y}{\D t}=-cy+dxy.$$ (3)

ここで $a$, $b$, $c$, $d$ は正の定数である。 これは、被食者・捕食者の個体数の変化を表すモデルである。 有名なので多くの本に載っている。

簡単なところは、 桂田研の卒業研究レポート長谷川 [8] で読める。 [8] には、 三つの種を考えた一般化である May-Leonard のモデルも出て来る。

(8)

SIRモデル。 書籍では、 佐藤 [10], 稲葉 [10] など。

(9)

Lorenz アトラクター。 ローレンツ (Lorenz) による Lorenz アトラクター発見の物語は、 グリック「カオス -- 新しい科学をつくる」 [11] を見よ (私は楽しく読んだ)。 やさしい数学的解説として石村 [12] がお勧めである。 まあ、色々な本に載っているから、他の本で足りるかもしれないが。

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\D x}{\D t}=-\sigma x(t)+\sigma ... ...t)-y(t)-x(t)z(t) [1em] \dfrac{\D z}{\D t}=-bz(t)+x(t)y(t) \end{array} \right.$$ (4)

ここで $\sigma$, $R$, $b$ は正定数である。 Lorenz が選んだという値 $(\sigma,R,b)=(10,28,8/3)$ で実験したのが下の図である。

図 1: Lorentアトラクター ($\sigma=10$, $R=28$, $b=\frac{8}{3}$)

(10)

渦糸系
卒業研究レポートから、 「渦糸の力学系」 (Javaプログラムが動かなくなっていて残念だけど。)

(11)

BZ反応の話はどこかで聞いたことがあるだろう。 空間分布を考えない、2変数版は

$$\eps\frac{\D x}{\D t}=x(1-x)-fz\frac{x-q}{x+q},$$

$$\frac{\D z}{\D t}=x-z.$$

数値計算には特に難しさはない。

(12)

空気中を運動するボールの運動。 色々な取り組み方が考えられるが、 誰かアデア [13] 読んで挑戦しないかな、と思っている。

(13)

ボウリングのボールの運動。剛体の運動の中で多分もっとも簡単。