2.2 Euler法

微分係数の定義より、$h$ が十分小さければ

$$\frac{\D x}{\D t}(t_j) =\lim_{\eps\to0}\frac{x(t_j+e)-x(t_j)}{\eps}$$

$$\kinji \frac{x(t_j+h)-x(t_j)}{h}$$

と考えることが出来る。

そこで

$$\frac{\D x}{\D t}(t_j)=f(t_j, x(t_j))$$

から $\{x_j\}$ に関する方程式

$$\boxed{\frac{x_{j+1}-x_j}{h}=f(t_j,x_j)}$$ (5)

を得る (正確には、 この方程式の解として $\{x_j\}$ を定義するわけである)。

(5) を整理して、

$$x_{j+1}=x_j+h f(t_j,x_j)$$ (6)

なる「隣接二項」の漸化式を得る。$x_0$ は分かっているわけだから、 これから $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_N$ を順番に計算できる。

以上が Euler 法である¹。 Euler 法は素朴であるが、次の意味で「うまく働く」。

$f$ に Lipschitz 連続程度の滑らかさがあれば、
$(t_j,x_j)$ を結んで出来る折れ線をグラフとする関数は、
$N\to\infty$ とするとき、真の解に収束する。

しかし、 実は Euler 法はあまり効率的ではないため、実際に使われることはまれである。

例題では、 $x_N=\left(1+\frac{1}{N}\right)^N$ となる。 これが $x(1)=e^1=e$ に近いのは納得が行く人もいるだろう。