B. 練習問題

各自やってみよう。 全員に [8] くらいまでやってもらいたい。

何かを参考にしても、人に尋ねても良い。自分自身が納得して、 似たような問題が解けるようになることが大事。

ときどき「どこまで出来ました？」尋ねます。

最後の [11], [12] はそのうち時間を取ってやるかも。

いつでも気軽に (メールでも可) 質問・相談してください。

[1].

自然数 $n$ を入力されたとき、 $1+2+\cdots+n$ を計算して、 その結果を表示するプログラムを書け²。

[2].

実数 $a$ , 自然数 $n$ を入力されたとき、 $a^n$ を計算して、その結果を表示するプログラムを書け ³。

[3].

自然数 $k$ , $n$ を入力されたとき、 $1^k$ , $2^k$ , $\cdots$ , $n^k$ を表示するプログラムを書け ⁴。

[4].

$a_1=1$ , $a_{n+1}=3a_n+2$ ($n\ge 1$ ) で定まる数列の最初の $100$ 項を 計算して表示するプログラムを書け ($n$ が大きいときは近似値で構わない -- 何桁くらい正しいでしょう？ 正確に計算するにはどうしたら良いでしょう？)。

[5].

$a_0=1$ , $a_1=1$ , $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ($n\ge 0$ ) で定まる 数列 (フィボナッチ数列) $\{a_n\}$ に対して、 $n=1,2,\dots,100$ の順に $a_n$ と $a_n/a_{n-1}$ を計算して表示せよ。 ($n$ が大きいときは近似値で構わない …)
[番外] $a_n/a_{n-1}$ の極限は何か？ (簡単な数学の問題)

[6].

$n$ を与えられたとき

$$S_1(n):=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \quad S_2(n):=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$$

を計算するプログラムを書け。 計算結果は double の精度一杯まで表示せよ。
[番外] $\dsp\lim_{n\to\infty} S_2(n)=\pi^2/6$ であることが知られている。 点 $(n, \pi^2/6-S_2(n))$ を両側対数目盛でプロットすることによって、 収束の速さを調べよ。

[7].

自然数 $n$ を入力されたとき、 $S_n=\dsp\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ を計算して結果を表示するプログラムを 書け ($1/k!$ は漸化式で計算するのが簡単)。

[8].

関数 $f\colon[a,b]\to \mathbb{R}$ のグラフを描くプログラムを書け。 ただし $f$ を計算する関数をプログラム中に書くものとする。 特に

$$f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} x & \mbox{($0\le x\le 1/2$)}\... ... & \mbox{($1/2\le x\le 1$)}\\ 0 & \mbox{(それ以外)} \end{array} \right.$$

の場合に $-0.2\leq x\leq 1.2$ の範囲のグラフを描け。

[9].

(ここまでの応用) 与えられた自然数 $n$ , 実数 $x$ に対して

$$s_n(x):=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!} x^{2k-1}$$

を計算する関数を書き、$n=1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ , $10$ に対して $s_n(x)$ ( $0\le x\le 2\pi$ ) のグラフを描け (「Taylor 級数のプログラミングには漸化式を」)。

[10].

$\mathbb{R}^3$ における極座標をデカルト座標 (直交座標) に変換するコードは簡単で、

  x = r * sin(theta) * cos(phi);
  y = r * sin(theta) * sin(phi);
  z = r * cos(theta);

とすれば良い。この逆をする (つまりデカルト座標を極座標に変換する) 関数 d2p() を作って、動くことをチェックせよ⁵。

  d2p(x, y, z, &r, &theta, &phi);

のようにして呼び出せるようにすること。

[11].

常微分方程式の初期値問題を Euler 法、 Runge-Kutta 法などの数値解法で近似的に解けることは重要である。 以下の初期値問題を解くプログラムを作れ。結果を可視化せよ。

(1)

$x'(t)=x(t)$ , $x(0)=1$ .
$x(1)=e$ となるはずだが、計算で得た値と比較せよ。

(2)

$x''(t)=-g-\gamma x'(t)$ , $x(0)=H$ , $x'(0)=0$ . ただし $g>0$ , $\gamma\ge 0$ は定数とする。
これは速度に比例する空気抵抗が存在する場合の 自由落下を記述する微分方程式である。 実は (抵抗が速度の自乗に比例する) $x''(t)=-g-\gamma x'(t)^2$ が 正しいという説もある。

(3)

$\dsp\dfrac{\D}{\D t}\begin{pmatrix}x y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a & b c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x y \end{pmatrix}$ , $x(0)=x_0$ , $y(0)=y_0$ . ここで $a$ , $b$ , $c$ , $d$ は与えられた定数である。 さまざまな $(x_0,y_0)$ に対して解軌道を描け。

[12].

方程式 $\cos x-x=0$ の実数解を、 二分法または Newton 法で計算するプログラムを作れ。

( $f(x):=\cos x - x$ は狭義単調減少で、 $f(0)=1>0$ , $f(1)=\cos 1-1<0$ であるから、 区間 $(0,1)$ にただ1つの実数解を持つことが分かる。)