秋休みの宿題

桂田 祐史

Date: 2017年10月27日

次回ゼミは11/17です。
休み中に、問(ii) までやっておくこと。 プログラム動かなければ質問に来て下さい。

$k$ を実数の定数として

$$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)+k u(x,t) (x,t)\in(0,1)\times(0,\infty) ,$$ (1)

$$u(0,t)=u(1,t)=0 t\in(0,\infty) ,$$ (2)

$$u(x,0)=f(x) x\in[0,1]$$ (3)

という初期値境界値問題を考える。

(i)

heat1d-i-glsc.c は、 $k=0$ に対して問題を解くプログラムである。 ユーザーが入力した $k$ に対して問題を解くようにプログラムを 書き直しなさい (プログラムの名前は適当に変えること)。

(ii)

$k$ が小さいうちは、任意の $f$ に対して

$$\lim_{t\to\infty}u(x,t)=0$$

が成り立つが、$k$ がある値 $k^\ast$ を超えると、これが成り立たなくなる。 この $k^\ast$ の値を実験的に求めよ。 いくつか注意

(a)

(実は、差分方程式の解の場合、$k^\ast$ は $N$ に依存する、 つまり $k^\ast(N)$ と書くべき) 実験をしている間は、$N$ の値は一定にしておくこと。

(b)

$\dsp\lim_{N\to\infty}k^\ast(N)$ が微分方程式の場合の $k^\ast$ に収束する。そういう意味で、$N$ はある程度大きいもので計算すること。 出来れば、複数の $N$ に対して $k^\ast(N)$ を求めておくこと。

(iii)

$k^\ast$ は何だろう？当てずっぽうでも良いから予想してみよう。 (真面目にやると、(1),(2),(3) の厳密解を求めることになる。)

(iv)

ちなみに (2)の代わりに

$$u_x(0,t)=u_x(1,t)=0$$ (4)

とした場合は、$k^\ast=0$ である。 それは heat1n-i-glsc.c を書き換えて実験出来る。 確かめよ。

(v)

さらに (2)の代わりに

$$u(0,t)=u_x(1,t)=0$$ (5)

とした場合は、また違う $k^\ast=0$ の値になる。その値はいくつか。 (これもプログラムを書き換えて実験出来るけれど、 書き換えが少し難しいかもしれない。)

境界条件を変えたとき、プログラムをどのように書き換えるかは、

「熱方程式に対する差分法I」の第1章
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/heat-fdm-1.pdf

を見て下さい。